Знайти всі додатні розв’язки системи рівнянь: $$ \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x_1+x_2=x_3^2,\\x_2+x_3=x_4^2,\\x_3+x_4=x_5^2,\end{array}\\x_4+x_5=x_1^2,\\x_5+x_1=x_2^2.\end{array}\right.\\\\\\\end{array} $$
На настінному годиннику у підсобці математиків нанесено \(12\) чисел; кожне рівне модулю різниці двох наступних (за годинниковою стрілкою) за ним. Серед них є число \(1\). Які числа нанесено на годинник?
В кожній клітинці нескінченної клітчастої дошки записано натуральне число. При цьому виявилось, що кожне число рівне одній четвертій суми чотирьох сусідніх по стороні чисел. Доведіть, що всі числа рівні між собою.
По колу виписано \(10\) чисел, кожне з яких рівне половині суми двох сусідніх. Скільки серед них може бути різних чисел?
По колу розставлено кілька натуральних чисел так, що кожне з них є дільником одного з сусідніх. Доведіть, що серед цих чисел є два рівних.
На дошці було написано \(5\) чисел. Склавши їх попарно, отримали наступні \(10\) чисел: \(0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15\). Які числа були написані?
\(\qquad\)У геолога є шалькові терези без гир і \(8\) камінців. Він хоче знати, чи вірно, що два камінця завжди важче одного. Як йому гарантовано перевірити це: \(\\\qquad\)а) за 19 зважувань; \(\\\qquad\)b) за 13 зважувань?
Сім грибників зібрали разом \(100\) грибів, причому кожний зібрав різну кількість. Доведіть, що якісь три грибника зібрали разом не менше \(50\) грибів.
Сім дійсних чисел такі, що сума будь-яких трьох з них менше суми чотирьох, що залишились. Доведіть, що всі числа додатні.
В школі провели змагання з перетягування каната, усіх учасників занесли в список по зменшенню сили. Вчитель фізкультури замислився: чи вірно, що будь-які троє перетягнуть будь-яких двох? За яке мінімальне число перетягувань він зможе це дізнатися?