\(\qquad\)На острові вважається, що брехуни належать до нижчого рангу, заїжджі туристи (які можуть як брехати, так і говорити правду) - до середнього рангу, а лицарі - до вищого рангу. Двоє людей \(A\) і \(B\) висловлюють твердження: \(\\\qquad\)\(A\): По рангу я нижче, ніж \(B\). \(\\\qquad\)\(B\): Неправда! \(\\\qquad\)Чи можна визначити ранг \(A\) або \(B\)? Чи можна встановити, істинне або хибне кожне з цих двох тверджень?
На одному з діалектів острову, слова "так" і "ні" звучать як "тіп" і "топ", але невідомо, яке з них чому відповідає. Як, задавши аборигену одне питання, з'ясувати, брехун він чи лицар?
Мандрівник їде по острову лицарів та брехунів в супроводі офіційного гіда і знайомиться з іншим жителем. "Ви, звичайно, лицар?" - запитує він. Житель острова його розуміє і відповідає "Хрю", що означає або "так", або "ні". На прохання перевести гід каже: "Він сказав - так. Додам, що насправді він брехун". А ви як думаєте?
На острові живуть лицарі та брехуни. Всі брехуни завжди брешуть, а всі лицарі завжди кажуть правду. У черзі стоять \(2020\) лицарів і брехунів. Кожен сказав: «Прямо переді мною стоїть брехун». Хто стоїть останнім у черзі?
Причепурившись і одягнувши все саме найкраще на випускний прийшло \(67\) дівчат. На даний момент часу, відстані між дівчатами попарно різні, і кожна з них слідкує за найближчою своєю суперницею. \(\\\)Доведіть, що якась дівчина залишилась без нагляду.
На клітчастій площині в кожну клітинку виписане натуральне число, так, що воно дорівнює середньому арифметичному всіх своїх сусідів по стороні. \(\\\)Скільки серед них може бути різних чисел?
Чи можна розсадити \(54\) учня по \(10\) класах так, щоб кількість учнів в різних класах була різною?
Доведіть, що у опуклого многогранника знайдуться дві грані з однаковою кількістю сторін.
Є \(21\) вчені вагою \(71\) кг, \(72\) кг, \(73\) кг, \( \ldots\), \(91\) кг. Десять з них - фізики, десять - хіміки і один - математик. Відомо, що загальна вага всіх фізиків на \(110\) кг більша, ніж загальна вага хіміків. \(\\\)Знайдіть вагу математика. (Знайти всі можливі розв’язки і довести що інших немає).
По колу записані \(45\) чисел. Кожне з цих чисел дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять після нього за годинниковою стрілкою. Сума всіх чисел дорівнює \(1\). \(\\\)Якими можуть бути ці числа? (Вказати всі варіанти і довести, що інших немає).