В десяткового запису деякого числа цифри розташовані зліва направо в порядку спадання. \(\\\)Чи може це число бути кратним числу \(111\)?

На полях дошки розставлені числа \(1, 2, \ldots, 100\). \(\\\)Доведіть, що знайдеться пара сусідніх по стороні клітинок, де числа відрізняються не менше, ніж на \(6\).

Доведіть, що в будь-якому опуклому п’ятикутнику знайдуться три діагоналі, з яких можна скласти трикутник.

Розв’яжіть конгруенції: \(\\\qquad\)a) \(92x \equiv 8(mod\;164)\); \(\\\qquad\)b) \(x^2-7x \equiv 67(mod\;77)\).

\(\it{Теорема\;Вільсона}\). Доведіть, що конгруенція \((p – 1)! \equiv -1(mod\;p)\) виконується тоді і тільки тоді коли \(p\) - просте число.

Нехай \(p\) - просте число, і число \(a\) не ділиться на \(p\). \(\\\)Доведіть, що знайдеться натуральне число \(b\), для якого \( ab\equiv 1(mod\;p)\).

Для яких чисел a розв’язком конгруенції \(ax \equiv 1 (mod\;p)\) буде саме число \(a\)?

При діленні натурального числа \(n\) на \(3\) і на \(37\) маємо, відповідно, залишки \(1\) і \(33\). Знайдіть залишок від ділення \(n\) на \(111\).

Доведіть: \(\\\qquad\)a) що \(11^{10} – 1\) ділиться на \(100\); \(\\\qquad\)b) якщо \(a \equiv b\ (mod\; m)\), то \(a^m \equiv b^m (mod\;m^2)\).

Доведіть, що серед чисел від \(1\) до \(100\) кількість таких чисел \(n\), що \(n^2 + 1\) ділиться на \(101\), парна.