На прямій поза відрізком \(АВ\) відмічена \(2021\) точка. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки \(А\) не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки \(В\).
На дошці розставлені \(9\) шашок, причому їх розташування симетрично щодо обох головних діагоналей. \(\\\) Доведіть, що одна з шашок стоїть в центральній клітці.
За круглим столом сидять фізики і математики. Доведіть, що кількість пар сусідів різної професії парна.
Різницю двох цілих чисел помножили на їх добуток. Чи могло вийти число \(2021\)?
Кетрін, Ріна і Катюся вирішують задачі. Щоб було цікавіше, вони купили тістечка і домовилися, що за кожне вирішене завдання дівчинка, яка вирішила її першою, отримує чотири цукерки, та що вирішила другою - два, а та вирішила останньої - одне. Дівчата кажуть, що кожна з них вирішила всі завдання і отримала \(20\) цукерок, причому одночасно ніхто задачу не розв’язав. \(\\\)Доведіть, що вони помиляються.
Доведіть, що не можна занумерувати ребра куба числами \(1, 2, \ldots, 11, 12\) так, щоб для кожної вершини сума номерів трьох виходять з неї ребер була однією і тією ж.
Кирило зафарбував в квадраті \(6 \times 6\) кілька клітин. Після цього виявилося, що у всіх квадратиках \(2 \times 2\) однакове число зафарбованих клітинок і у всіх смужках \(1 \times 3\) однакове число зафарбованих клітинок. \(\\\)Доведіть, що старанний Кирило зафарбував все клітини.
У таблицю \(4 \times 4\) записали натуральні числа. Чи могло виявитися так, що сума чисел в кожному наступному рядку на \(2\) більше, ніж у попередній, а сума чисел у кожному наступному стовпці на \(3\) більше, ніж у попередньому?
Доведіть рівності: \(\\\)1) \(1 + 2 + \ldots + n = n*(n+1)/2\) \(\\\)2) \(1 + 2 + \ldots + n-1 + n + n-1 + \ldots + 2 + 1 = n^2\) \(\\\)3) \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6\) \(\\\)4) \(1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (n*(n+1)/2)^2\)
Коли зустрічаються два жителя села Обмінкіно, один віддає іншому монету в \(50\) копійок, а той йому - \(2\) монети по \(25\) копійок. Чи могло статися так, що за день кожен з \(2020\) жителів міста віддав рівно \(10\) монет?