Чи можна розставити числа від \(1\) до \(13\) по колу так, щоб кожне з них ділилося на різницю своїх сусідів?

Чи можна так розставити знаки "+" або "-" між кожними двома сусідніми цифрами числа \(123456789101112\), щоб отриманий вираз дорівнювало нулю?

Чи можна знайти шість цілих чисел, сума і добуток яких є непарними числами?

У дев’яти метеорологів є по два повітряних зонда: жовтий та блакитний. Чи можуть вони так помінятися один з одним зондами, щоб у кожного було по два зонда одного кольору?

На клітчастому папері намальований замкнутий шлях (по лініях сітки). Довести, що він має парну довжину (сторона клітки має довжину \(1\)).

Всі кісточки доміно виклали в ланцюг. На одному кінці виявилося \(5\) очок. Скільки очок на іншому кінці?

По колу розташоване \( 2021\) натуральне число. Довести, що знайдуться два сусідніх числа, після викидання яких залишаться числа, які не можна розбити на дві групи з рівною сумою.

На п'яти картках записані натуральні числа від \(1\) до \(5\). Мої друзі Олексій та Кирило взяли собі, не дивлячись, по дві картки, а решту карток, також не дивлячись, сховали. Вивчивши свої картки, Олексій сказав Кирилу: "Я знаю, що сума чисел на твоїх картках парна!"; і мав рацію. Які числа записані на картках Олексія?

Знайдіть всі пари простих чисел, таких що і їх сума, і їх різниця - теж прості числа.

Чи може пряма, яка не містить вершин замкненої ламаної з \(11\) ланками, перетинати всі її ланки?