На столі лежить купа з \(61\)-го тортику. Катруся може за один хід, в будь-якій купі, що містить більше одного тортика, з’їсти один, а потім одну з куп поділити на дві (не обов’язково рівні). \(\\\)Чи можна через кілька ходів залишити на столі тільки купки, що складаються з трьох тортиків?
Учитель написав на дошці всі натуральні числа від \(1\) до \(60\). Раз на хвилину хтось із школярів підходить до дошки, витирає якісь два написаних на ній числа і записує найменший спільний простий дільник їх суми. Через \(59\) хвилин на дошці залишилося одне число.\(\\\)Яким може бути це число?
У країні Фізиків грошовою одиницею є амперметр, а в країні Біологів грошовими одиницями є колбочки, причому в країні фізиків колбочка міняється \(6\) амперметрів, а в країні біологів амперметр змінюється на \(6\) колбочок. Фінансист Ганна має амперметр і може вільно пересуватись з однієї країни в іншу і міняти свої гроші в обох країнах. \(\\\)Доведіть, що кількість амперметрів у неї ніколи не зрівняється з кількістю колбочок.
Вчитель фізкультури вишикував в ряд \(16\) школярів. З них \(15\) стоять до нього обличчям, а один дивиться в протилежну сторону. Дозволяється одночасно розвертати будь-яких чотирьох школярів. \(\\\)Чи можна, повторюючи цю операцію, поставити всі школярів обличчям до вчителя фізкультури?
Камені лежать в трьох купках: в першій - \(51\) камінь, другій - \(49\) каменів, а в третій - \(5\) каменів. Дозволяється об’єднувати будь-які купки в одну, а також розділяти купку з парного кількості каменів на дві рівні. \(\\\)Чи можна отримати купок по одному каменю в кожній?
Набір чисел \(a, b, c\) кожну секунду замінюється на \(a + b - c, b + c - a, c + a - b\). На початку є набір чисел \(2019, 2020, 2021\). Чи може через деякий час вийти набір \(2020, 2021, 2022\)?
Хулігани Кирило і Тарасик розірвали шкільний плакат “Будь слухняним!”, причому Кирило рвав кожен шматок на \(4\) частини, а Тарасик на \(10\). При спробі зібрати плакат знайшли \(2021\) обривків. \(\\\)Доведіть, що знайшли не всі шматочки.
На дошці написані десять чисел: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\). За один хід дозволяється до будь-яких двох з них одночасно додавати по одиниці. Чи можна за кілька ходів всі числа зробити рівними?
В школі навчається \(1000\) учнів. Вчитель фізкультури вишикував їх усіх у ряд по росту. Дозволено міняти місцями дві людини, які стоять через одного. \(\\\)Чи можна за допомогою таких операцій переставити всіх школярів в зворотному порядку?
Яких чисел більше серед натуральних чисел від \(1\) до \(1000000\) включно: які представляються у вигляді суми точного квадрата і точного куба чи таких, що не представляються у такому вигляді?