На шахівниці стоїть \(21\) король. Доведіть, що з них можна вибрати не менше ніж \(6\) королів так, щоб вони не били один одного.

В купці лежать \(57\) камінчиків. За хід можна взяти \(1, 3\) або \(4\) камінця з купки. Програє той хто не може зробити хід.

Чи можна дошку, розрізати на рівні фігурки у вигляді букви \("Г"\), які складаються з чотирьох клітинок?

Чи можна дошку розміром \(11 \times 11\), з якої вирізана кутова клітинка, розділити на прямокутники \(1 \times 2\) таким чином, щоб половина з них була розміщена горизонтально?

Із шахової дошки розміром \( 8 \times 8\) вирізали квадрат розміром \( 2 \times 2\) так, що дошку, що залишилась, вдалося розрізати на прямокутники розміром \( 1 \times 3\). Дізнайтесь, які квадрати могли вирізати.

На полі \(8 \times 8\) для гри в "Морський Бій" стоїть один чотирипалубний корабель. Яке мінімальне число пострілів треба зробити, щоб напевно в нього влучити?

Тарасик повзає по дротовому каркасу куба, при цьому він ніколи не повертає назад. Чи може статися, що в одній вершині він побував \(13\) разів, а в кожній з інших - по \(10\) разів?

Чи можна розставити в вершинах куба натуральні числа так, щоб в кожній парі чисел, пов'язаних ребром, одне з них ділилося на інше, а у всіх інших парах такого не було?

Маєток Олексія має вигляд прямокутника розміром \(5 \times 7\) клітин, де кожна клітина це кімната. У кожній стороні кімнати, що розділяє дві сусідні кімнати, є двері. Чи може Олексій почати зі своєї центральної кімнати, обійти всі кімнати маєтку рівно по одному разу не виходячи з маєтку?

Є три друкуючих автомата. Перший по картці з числами \((a, b)\) видає картку з числами \((a+1, b+1)\); другий по картці з числами які діляться на \(3\), видає картку з числами \((a/3, b/3)\); третій автомат по парі карток з числами \((a, b)\) і \((b, c)\) видає картку з числами \((a, c)\). Всі автомати повертають закладені в них картки. Чи можна за допомогою цих автоматів з картки \((5, 27)\) отримати картку \((1, 2020)\)?