Filter

Source
Attributes
Reset
Selected problems
[430]
    Problem has no attributes

Доведіть, одиницю можна представити у вигляді суми \(100\) дробів, чисельники яких рівні \(1\), а знаменники - попарно різні натуральні числа.

[429]
    Problem has no attributes

Доведіть, що правильний трикутник можна розрізати на \(2021\) правильний трикутник (трикутники не обов’язково рівні).

[428]
    Problem has no attributes

Доведіть тотожність: \(1^2 + 3^2 + \ldots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3}n(2n - 1)(2n + 1)\).

[427]
    Problem has no attributes

В майбутньому, коли співробітники Малої академії наук побудують навколо сонця космічний маршрут, на якому будуть \(10\) станцій з пальним. Станіслав і Марина планують зробити навколо сонячний круїз, на своєму маленькому космічному апараті. На цих станціях в сумі пального буде вистачати для того щоб зробити повний круг по маршруту навколо сонця на їх апараті. Доведіть, що Станіслав і Марина точно можуть знайти місце на маршруті, починаючи з якого вони зможуть зробити свою навколо сонячну мандрівку.

[426]
    Problem has no attributes

На площині дано \(100\) прямих загального положення. Знайдіть число частин, на які вони ділять цю площину.

[425]
    Problem has no attributes

Доведіть, що число \(111\ldots111\) (\(3^n\) одиниць ) ділиться на \(3^n\) і не ділиться на \(3^{n+1}\).

[424]
    Problem has no attributes

Доведіть, що квадрат можна розрізати на будь-яке число квадратів, починаючи з \(6\).

[423]
    Problem has no attributes

Доведіть, що для будь-якого натурального \(n3\) існує таке натуральне число \(N\), що дорівнює сумі якихось \(n\) своїх різних дільників.

[422]
    Problem has no attributes

Доведіть тотожність: \(1 + 3 + 5 + \ldots + 2(n – 1)= n^2\).

[421]
    Problem has no attributes

Чи можна намалювати на площині кілька точок так, щоб на відстані \(1\) від кожної намальованої точки знаходилося не менше \(10\) інших?