Доведіть, одиницю можна представити у вигляді суми \(100\) дробів, чисельники яких рівні \(1\), а знаменники - попарно різні натуральні числа.
Доведіть, що правильний трикутник можна розрізати на \(2021\) правильний трикутник (трикутники не обов’язково рівні).
Доведіть тотожність: \(1^2 + 3^2 + \ldots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3}n(2n - 1)(2n + 1)\).
В майбутньому, коли співробітники Малої академії наук побудують навколо сонця космічний маршрут, на якому будуть \(10\) станцій з пальним. Станіслав і Марина планують зробити навколо сонячний круїз, на своєму маленькому космічному апараті. На цих станціях в сумі пального буде вистачати для того щоб зробити повний круг по маршруту навколо сонця на їх апараті. Доведіть, що Станіслав і Марина точно можуть знайти місце на маршруті, починаючи з якого вони зможуть зробити свою навколо сонячну мандрівку.
На площині дано \(100\) прямих загального положення. Знайдіть число частин, на які вони ділять цю площину.
Доведіть, що число \(111\ldots111\) (\(3^n\) одиниць ) ділиться на \(3^n\) і не ділиться на \(3^{n+1}\).
Доведіть, що квадрат можна розрізати на будь-яке число квадратів, починаючи з \(6\).
Доведіть, що для будь-якого натурального \(n3\) існує таке натуральне число \(N\), що дорівнює сумі якихось \(n\) своїх різних дільників.
Чи можна намалювати на площині кілька точок так, щоб на відстані \(1\) від кожної намальованої точки знаходилося не менше \(10\) інших?