Problems ua

Problem

[640]

Олімпіадна

Знайти найбільше значення виразу $\\$ $ A=\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3} $ $\\$якщо $x+y+z=\frac{1945}3$.

Problem

[639]

Олімпіадна

Учні $A$, $B$ і $C$ складають екзамен. За кожний екзамен той, хто склав його найкраще, одержує $a$ очок, другий $ -\ b$ очок, а той, хто відповідав найгірше, $-\ c$ очок ($a$, $b$, $c\ -$ натуральні числа і $a > b > c$). Після всіх екзаменів учень $A$ набрав $22$ очка, а учні $B$ і $C\ - $ по $9$ очок, причому учень $B$ був першим з алгебри. Хто був другим з літератури?

Solution

Після всіх екзаменів уні набрали $40$ очок. Нехай $ n\ -$ кількість екзаменів, а $k\ -$ кількість очок за один екзамен. Тоді матимемо такі випадки: $$ \begin{array}{ccc}&n&k\\1)&2&20\\2)&4&10\\3)&5&8\\4)&8&5\\5)&10&4\\6)&20&2\end{array} $$ Проте відразу видно, що випадки $4)$, $5)$ і $6)$ неможливі, бо числа $2$, $4$ і $5$ не можна подати у вигляді суми трьох різних натуральних чисел. Випадок $1)$ також неможливий, бо тоді б $a\;\geqslant11$ (інакше $A$ не може набрати $22$ очка) і тому $B$ не міг би бути першим з алгебри. У випадку $2)\;a\;>\;5$ (інакше $A$ не може набрати $22$ очка) і $a\;<\;8$ (інакше $b$ і $c$ не могли б бути різними натуральними числами). Проте при $a=6$ учень $A$ не може набрати $22$ очка (бо $b=3$, а $6+6+6+3<22$), а при $a=7$ учень $B$ не може набрати $9$ очок (бо $c=1$, а $7+1+1+1>9$). Залишається випадок $3)$. У цьому випадку обов'язково $a\;=\;5$, а тому $b\;=\;2$, а $c\;=\;1$. За екзамен з алгебри учень $B$ одержав $5$ очок, тому за інші $4$ екзамени він дістав $4$ очка $-$ по $1$ очку за кожний. Учень $A$ за ці $4$ екзамени неодмінно одержав по $5$ очок, а за екзамен з алгебри $-\; 2$, бо інакше він не міг би мати $22$ очка. Отже, учень $C$ за всі екзамени, крім алгебри, дістав по $2$ очка, а за екзамен з алгебри $-\;1$. Таким чином, за даними задачі однозначно відновлюється кількість екзаменів і розподіл очок. Екзаменів було $5$. З усіх предметів, крім алгебри, другим був учень $C$.

Problem

[638]

Олімпіадна

Пункти $A$, $B$ і $C$ сполучено прямолінійними шляхами. До відрізка шляху $AB$ прилягає квадратна ділянка лісу, сторона якої дорівнює $\frac12\left|AB\right|$; до відрізка шляху $BC$ прилягає квадратна ділянка лісу, сторона якої $BC$, а до відрізка $AC - $ прямокутне поле довжиною $\left|AC\right|$ і шириною $5$ км. Площа поля на $31,25\ км^2 $ більша від суми площ ділянок лісу. Знайти площу поля.

Problem

[637]

Олімпіадна

У трикутнику $ABC$ проведено медіани $AD$ і $CE$; при цьому $\angle BAD=\angle BCE=30^\circ$.$\\$Довести, що трикутник $ABC - $ рівносторонній.

Problem

[636]

Олімпіадна

В елекртомережу в один ряд підключено $15$ лампочок. Деякі з них горять, а решта $-$ вимкнені. Дозволяється за один хід перемикати три довільні сусідні лампочки або одну пару крайніх лампочок (першу і другу або чотирнадцяту і п'ятнадцяту). $\\$Довести, що за скінчену кількість ходів можна вимкнути всі лампочки.

Problem

[635]

Олімпіадна

Відрізки довжиною $l_1$ і $l_2$ лежать на площині $\alpha$. Знайти множину таких точок $M$ на площині $\alpha$, щоб сума площ трикутників, основами яких є $l_1$ і $l_2$, а вершинами $-$ точки $M$, була сталою величиною, що дорівнює $S$.

Problem

[634]

Олімпіадна

Нехай $A\ - $ довільне $1972$-цифрове число, що ділиться на $9$, $a\ - $ сума цифр числа $A$, $b\ - $ сума цифр числа $a$, $c\ - $ сума цифр числа $b$. Знайти $c$.

Problem

[633]

Олімпіадна

Кожне з чисел $N_1,N_2,\dots,N_n$ є сумою квадратів двох цілих чисел. Довести, що добуток $N_1\cdot N_2\cdot\dotsc\cdot N_n$ також є сумою квадратів двох цілих чисел.

Problem

[632]

Олімпіадна

Спільною основою двох прамід є переріз куба площиною, перпендикулярною до його диагоналі. Вершинами піраміди є кінці цієї диагоналі, а їх висоти відносяться як $m~:~n$. Знайти відношення суми об'ємів пірамід до об'єму куба.

Problem

[631]

Олімпіадна

Довести, що многочлен $P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ не має цілих коренів, якщо всі його коефіцієнти є цілі числа, а їх сума і вільния член $-$ непарні числа.

Filter

Source

Attributes

Selected problems