Problems ua

Problem

[639]

Учні $A$, $B$ і $C$ складають екзамен. За кожний екзамен той, хто склав його найкраще, одержує $a$ очок, другий $ -\ b$ очок, а той, хто відповідав найгірше, $-\ c$ очок ($a$, $b$, $c\ -$ натуральні числа і $a > b > c$). Після всіх екзаменів учень $A$ набрав $22$ очка, а учні $B$ і $C\ - $ по $9$ очок, причому учень $B$ був першим з алгебри. Хто був другим з літератури?

Solution

Після всіх екзаменів уні набрали $40$ очок. Нехай $ n\ -$ кількість екзаменів, а $k\ -$ кількість очок за один екзамен. Тоді матимемо такі випадки: $$ \begin{array}{ccc}&n&k\\1)&2&20\\2)&4&10\\3)&5&8\\4)&8&5\\5)&10&4\\6)&20&2\end{array} $$ Проте відразу видно, що випадки $4)$, $5)$ і $6)$ неможливі, бо числа $2$, $4$ і $5$ не можна подати у вигляді суми трьох різних натуральних чисел. Випадок $1)$ також неможливий, бо тоді б $a\;\geqslant11$ (інакше $A$ не може набрати $22$ очка) і тому $B$ не міг би бути першим з алгебри. У випадку $2)\;a\;>\;5$ (інакше $A$ не може набрати $22$ очка) і $a\;<\;8$ (інакше $b$ і $c$ не могли б бути різними натуральними числами). Проте при $a=6$ учень $A$ не може набрати $22$ очка (бо $b=3$, а $6+6+6+3<22$), а при $a=7$ учень $B$ не може набрати $9$ очок (бо $c=1$, а $7+1+1+1>9$). Залишається випадок $3)$. У цьому випадку обов'язково $a\;=\;5$, а тому $b\;=\;2$, а $c\;=\;1$. За екзамен з алгебри учень $B$ одержав $5$ очок, тому за інші $4$ екзамени він дістав $4$ очка $-$ по $1$ очку за кожний. Учень $A$ за ці $4$ екзамени неодмінно одержав по $5$ очок, а за екзамен з алгебри $-\; 2$, бо інакше він не міг би мати $22$ очка. Отже, учень $C$ за всі екзамени, крім алгебри, дістав по $2$ очка, а за екзамен з алгебри $-\;1$. Таким чином, за даними задачі однозначно відновлюється кількість екзаменів і розподіл очок. Екзаменів було $5$. З усіх предметів, крім алгебри, другим був учень $C$.

Attributes	Олімпіадна
Source	Респуліканська математична олімпіада (Ukraine)
Year	1972
Number	6
Difficulty	10.0
Grade	VIII клас
Themes