Порахуйте кількість восьмизначних чисел чисел, сума цифр яких парна.
В множині з \(10\) елементів. \(\\\)Необхідно порахувати кількість пар підмножин \(М\) і \(А\) таких, щоб множина \(М\) містилась в множині \(А\).
\(\qquad\)В правильному \(101\)-кутнику провели всі діагоналі, а також пряму, яка не проходить через його вершини. \(\\\qquad\)Доведіть, що ця пряма перетинає парну кількість діагоналей.
Скільки десятицифрових чисел, в яких всі цифри різні, і при цьому цифри \(2\) і \(5\) стоять поруч?
\(\qquad\)Світлове табло складається з декількох ламп, кожна з яких може знаходись в двох станах (горить або не горить). На пульті декілька кнопок, при натисканні кожної з яких одночасно міняється стан деякого набора ламп (для кожної кнопки – свого). На початку лампи не горять. \(\\\qquad\)Доведіть, що число різних узорів, які можна отримати на табло, – степінь двійки.
\(\qquad\)Назвемо лабіринтом шахівницю \(8 \times 8\), де між деякими полями вставлені перегородки. Якщо тура може обійти всі клітинки, не перестрибуючи через перегородки, то лабіринт називається \(\it{хорошим}\), інакше - \(\it{поганим}\). \(\\\qquad\)Яких лабіринтів більше - \(\it{хороших}\) чи \(\it{поганих}\)?
\(\qquad\)На двох клітинах шахової дошки стоять чорна і біла фішки. За один хід можна пересунути будь-яку з них на сусідню по вертикалі або горизонталі клітинку (дві фішки не можуть стояти на одній клітці). \(\\\qquad\)Чи можуть в результаті таких ходів зустрітися всі можливі варіанти розташування цих двох фішок, причому рівно по одному разу?
На всіх клітинах шахової дошки \(8 \times 8\) розставлені натуральні числа. Дозволяється виділити будь-який квадрат розміром \(3 \times 3\) або \(4 \times 4\) і збільшити всі числа в ньому на \(1\). Необхідно в результаті декількох таких операцій домогтися, щоб числа у всіх клітинах ділилися на \(2\). Чи завжди це вдасться зробити?
Яких чисел більше серед натуральних чисел від \(1\) до \(1000000\) включно: \(\\\qquad\)які представляються у вигляді суми точного квадрата і точного куба \(\\\qquad\)чи таких, що не представляються у такому вигляді?
Скількома способами можна розставити числа \(1, 2 \ldots 10\) в строку так, щоб кожне число, крім одиниці, було більше як мінімум одного з своїх сусідів?