Problems ua

Problem

[120]

Problem has no attributes

Тура стоїть на лівому полі клітчатої смужки $1 \times 10$ і за хід може посунутись на будь-яку кількість клітинок вправо. $\\$Скількома способами вона може добратися до крайнього правого поля?

Problem

[119]

Problem has no attributes

Скільки підмножин у множини з $100$ елементів?

Problem

[118]

Problem has no attributes

Нехай $\tau(n)$ – кількість додатних дільників натурального числа $$ n = p_1^{\alpha_1} \, p_2^{\alpha_2} \, \ldots \, p_s^{\alpha_s}.$$ $\\$Доведіть рівність $\tau(n) = (\alpha_1 + 1) \ldots (\alpha_s + 1) $.

Problem

[117]

Problem has no attributes

Потяг, в якому знаходиться $2021$ пасажирів, має зробити $10$ зупинок. $\\$Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках?

Problem

[116]

Problem has no attributes

Скількома способами можна прочитати слово $\mathtt{"АКАДЕМІЯ"}$, рухаючись вправо або вниз? $$ \begin{matrix} А & К & А & Д & Е & М & І & Я \\ К & А & Д & Е & М & І & Я \\ А & Д & Е & М & І & Я \\ Д & Е & М & І & Я \\ Е & М & І & Я \\ М & І & Я \\ І & Я \\ Я \\ \end{matrix} $$

Problem

[115]

Problem has no attributes

Автобусні квитки мають шестизначні номери, від $000000$ до $999999$. $\\\qquad$a) Скільки всього різних номерів? $\\\qquad$b) Скільки номерів, всі цифри яких різні? $\\\qquad$c) Скільки номерів, в яких будь-які дві сусідні цифри різні? $\\\qquad$d) Номерів, усі цифри яких непарні? $\\\qquad$e) Скільки існує шестизначних чисел, які не містять цифр $7$ і $0$?

Problem

[114]

Красива
Олімпіадна

Show that for each prime $p$, there exists a prime $q$ such that $n^p − p$ is not divisible by $q$ for any positive integer $n$.

Solution

Note that $\dfrac{p^p-1}{p-1}=p^{p-1}+\ldots + p + 1 \equiv p+1 (\bmod\ p^2)$. Then this integer has a prime divisor $q$ such that $q\not\equiv 1 \pmod{p^2}$ and $q \mid p^p-1$. Suppose that for some ${n\in \mathbb{N}}$ integer $q$ divides $n^p-p$. Then $$n^p\equiv p (\bmod\ q) \quad \Rightarrow \quad n^{p^2}\equiv p^p\equiv 1 (\bmod\ q)$$ Also since $(n, q)=1$, from Fermat's little theorem we know $n^{q-1}\equiv 1(\bmod q)$. It's clear that $q-1$ doesn't divided by $p^2$, so either $(p^2, q-1)=p$ or $(p^2, q-1)=1$. In any case $n^p\equiv 1 (\bmod\ q)$, from which $p\equiv 1(\bmod\ q)$. Thus $0\equiv p^{p-1}+\ldots + p + 1 \equiv p (\bmod\ q)$, contradiction.

Problem

[113]

Олімпіадна

Given $n \gt 2$ and reals $x_1 \le x2 \le \ldots \le x_n$, show that $$ \left({\textstyle\sum_{\displaystyle i,\;j}}\left|x_i-x_j\right|\right)^2\;\leq\;\frac23\left(n^2\;-\;1\right){\textstyle\sum_{i,\;j}}\;\left(x_i\;-\;x_j\right)^2. $$ Show that we have equality iff the sequence is an arithmetic progression.

Problem

[112]

Олімпіадна

$ABCD$ is cyclic. The feet of the perpendicular from $D$ to the lines $AB, BC, CA$ are $P, Q, R$ respectively. Show that the angle bisectors of $ABC$ and $CDA$ meet on the line $AC$ iff $RP = RQ$.

Problem

[111]

Олімпіадна

$\qquad$A convex hexagon has the property that for any pair of opposite sides the distance between their midpoints is $\sqrt3/2$ times the sum of their lengths. $\\\qquad$Show that all the hexagon’s angles are equal.

Filter

Source

Attributes

Selected problems