На колі позначено \(2021\) блакитних точок і одна жовта. Чого більше: \(\\\)а) трикутників з вершинами в блакитних точках або чотирикутників, у яких одна вершина жовта? \(\\\)б) багатокутників з вершинами тільки в блакитних точках або інших багатокутників?

На столі лежать три монети номіналом \(13, 21\) і \(45\) копійок. Також є каса, в якій є необмежена кількість монет будь-якого номіналу. За один хід дозволяється взяти будь-яку монету номіналом більш \(1\) зі столу, розміняти її в касі на кілька дрібніших і їх знову покласти на стіл.

Двоє грають на шахівниці. Той хто починає робить перший хід – ставить на дошку коня. Потім вони по черзі його рухають (по звичайним правилам), при цьому не можна ставити коня на поле, де він вже побував. Тим хто програв вважається той, кому нема куди ходити. Хто виграє при правильній грі – той хто починає чи його партнер?

На колі розставлено \(18\) точок. За хід дозволяється з’єднувати дві з них відрізком, який не перетинає відрізків, що були проведені раніше. Програє той, хто не зможе зробити хід.

Двоє по черзі ставлять слонів в клітинки шахової дошки так, щоб слони не били один одного. (Колір слонів значення не має). Програє той, хто не зможе зробити хід

Богдан та Дарина грають на дошці розміром \(9 \times 9\). Вони по черзі ставлять в клітинки дошки цифри от \(1\) до \(9\) так, щоб ні в одній строчці і ні в одному стовпчику не залишилось однакових цифр. Першою ходить Дарина. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто з них зможе виграти, як би не грав суперник?

Маємо систему рівнянь: \(\\\)*x + *y + *z = 0 \(\\\)*x + *y + *z = 0 \(\\\)*x + *y + *z = 0 \(\\\)Двоє гравців по черзі записують замість зірочок числа. Довести, що перший завжди може зробити так, щоб у отриманої системи був хоча б один ненульовий розв’язок.

На дошці \(99 \times 99\) грають двоє. Перший гравець ставить хрестик на центр поля; слідом за цим другий гравець може поставити нулик на будь-яку з клітин, що оточують хрестик першого гравця. Після цього перший ставить хрестик на будь-яке з полів поруч з уже зайнятими і т.д. Виграє той, кому вдасться поставити хрестик на будь-яку кутову клітинку. \(\\\)Довести, що при будь-якій грі другого гравця перший завжди може виграти.

Двоє грають на дошці \(5 \times 24\) клітинок. Кожний по черзі відмічає квадрат по лініям сітки (будь-якого можливого розміру) і зафарбовує його. Виграє той, хто зафарбує останню клітинку. Двічі зафарбовувати клітинки не можна. Хто виграє при правильній грі і як треба грати?

У ромашки а) \(14\) пелюсток; б) \(13\) пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну пелюстку, або дві що ростуть поруч. Програє той, хто не зможе зробити хід.