Доведіть, що для натуральних чисел \(k, m\) і \(n\) справедлива нерівність $$ \lbrack k,\;m\rbrack\;\lbrack m,\;n\rbrack\;\lbrack n,\;k\rbrack\;\geq\;{\lbrack k,\;m,\;n\rbrack}^2. $$
Знайдіть НСД \((1\dots1_{\underbrace{}m},\;1\dots1_{\underbrace{}n}\;)\).
Чи існують \(6\) послідовних натуральних чисел таких, що найменше спільне кратне перших трьох з них більше, ніж найменше спільне кратне трьох наступних?
Знайдіть найменше натуральне \(n\) таке, що \(n+2\) ділиться на \(2\), \(n+3\) ділиться на \(3, \ldots, n +10\) ділиться на \(10\).
Кирило рівно опівдні зафарбував число \(12\) блакитним кольором і вирішив через кожні \(51\) годин зафарбовувати поточну годину в блакитний колір. \(\\\)а) Скільки чисел на циферблаті виявляться пофарбованими? \(\\\)б) Скільки виявиться блакитних чисел, якщо Кирило буде фарбувати їх кожну \(2021\) годину?
У квадрат зі стороною \(1\) метр кинули \(61\) точку. Доведіть, що якісь чотири з них можна накрити прямокутником зі сторонами \(20 \times 25\) см (точка вважається \(\it{накритою}\), якщо лежить всередині або на границі прямокутника).
Після закінчення турніру з сумо треба розвести всіх \(36\) борців по домівках. Якщо загальна маса пасажирів більша за \(600\) кг, тоді таксі замовляється за підвищеним тарифом. Ваги борців відповідно \(98\) кг, \(99\) кг, \(100\) кг, \(\ldots\), \(133\) кг (послідовні числа). Чи можна перевезти всіх борців у семи таксі, і не платити підвищений тариф?
Доведіть, що з будь-яких \(17\) натуральних чисел (не обов'язково таких що йдуть підряд) можна вибрати п’ять чисел, сума яких ділиться на \(5\).
Відомо, що в школі, в якій навчається \(2021\) школяр, серед будь-яких трьох школярів є двоє, які є друзями у соціальних мережах. Доведіть, що існує школяр, у якого не менше \(1010\) друзів в соціальних мережах.