Площина поділена на області декількома прямими. Доведіть, що ці області можна розфарбувати в два кольори так, щоб будь-які дві сусідні області були розфарбовані в різні кольори. (Сусідні області - це області, які мають спільну ділянку кордону, не одну точку). Доведіть аналогічне завдання, але разом з прямими розглядаються кола.

Гра \(\bf{Ханойська\,вежа}\). Є піраміда з \(n\) кільцями зростаючих розмірів і ще два порожніх стержня тієї ж висоти. Дозволяється перекладати верхнє кільце з одного стержня на інший, але при цьому забороняється класти більше кільце на менше. Доведіть, що можна перекласти всі кільця з першого стержня на один з порожніх стержнів; це можна зробити за \(2^n-1\) перекладання.

З квадрату клітчастого паперу розміром \(8 \times 8\) вирізали одну клітинку. Доведіть, що отриману фігуру можна розрізати на «куточки» з трьох клітинок.

Доведіть, що \(4^n-3n-1\) ділиться на \(9\) для будь-якого натурального \(n\).

Доведіть тотожність: \(1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\).

У вершинах октаедра записали шість різних натуральних чисел, а на кожному його ребрі - найбільший спільний дільник двох чисел, записаних на кінцях цього ребра. Чи могла сума всіх чисел, записаних в вершинах, виявитися рівною сумі всіх чисел, записаних на ребрах?

Знайдіть всі такі пари натуральних чисел \(a\) і \(b\), що \(\lbrack a,b\rbrack\;=\;(a,b) + 37\) і доведіть, що інших нема.

Знайдіть найменше число, що дає наступні залишки: \(1\) - при ділені на \(2\), \(2\) - при ділені на \(3\), \(3\) - при ділені на \(4\), \(4\) - при ділені на \(5\), \(6\) – при ділені на \(7\).

Яке найбільше значення може бути у найбільшого спільного дільника чисел \(11n+5\) і \(19n+2\), якщо \(n\) – натуральне число?

У університеті на одному потоці навчається менше \(150\) студентів. За контрольну роботу з філософії сьома частина студентів отримала відміно, п’ята - добре, третина - задовільно. Решта робіт були оцінені як незадовільні. Скільки було таких робіт?