Є \(101\) метеоролог, кожний з яких досліджує конкретну хмаринку. Доведіть, що серед них знайдуться або \(11\) метеорологів які досліджують одну хмаринку, або \(11\) метеорологів, які вивчають різні хмаринки.

Серед \(9\) людей, завжди знайдуться або \(4\) попарно знайомі людини, або \(3\) попарно не знайомі людини.

Доведіть, що з будь-яких \(52\) цілих чисел завжди можна вибрати два числа, сума або різниця яких ділиться на \(100\).

Доведіть, що серед ступенів трійки є дві, різниця яких ділиться на \(2021\).

Доведіть, що в будь-якому дев'ятикутнику знайдеться пара діагоналей, кут між якими менше \(7\) градусів.

Двадцять друзів при зустрічі почали вітатися за руку. Доведіть, що в кожен момент часу деякі двоє зробили рівну кількість рукостискань. Кожна пара друзів потискає одне одному руки не більше \(1\) разу.

Сума \(47\) чисел дорівнює \(2021\). Довести, що з цих чисел можна вибрати \(7\) з сумою не менше \(301\).

На площині проведено \(12\) прямих. Доведіть, що якісь дві з них утворюють кут не більше \(15^\circ\)

Доведіть, що серед \(6\) людей завжди знайдуться або три попарно знайомі людини, або три попарно не знайомі людини.

Доведіть, що з будь-яких \(n+1\) цілого числа можна вибрати два, різниця яких ділиться на \(n\).