В малій академії наук живе \(28\) співробітників. Щодня рівно п’ять з них відправляються на килим до Катерини Валеріївни. Чи може так статися, що в певний момент часу кожний співробітник побував на килимі Катерини Валеріївни з кожним співробітником рівно по одному разу?

Кожні два з \(11\) наукових інститутів з'єднані дорогами. Чи можна кожну з цих доріг пофарбувати в один з \(10\) кольорів так, щоб від кожного інституту відходило \(10\) доріг різного кольору?

Чи може існувати многогранник, в якому одна грань трикутник, а інші чотирикутники або шестикутники?

У графі з кожної вершини виходить по три ребра. Чи може в ньому бути \(2020\) ребр?

Кожна деталь конструктора – це скобка у вигляді літери \(П\), яка складається з трьох одиничних відрізків. Чи можна з деталей цього конструктора спаяти повний каркас куба \(2 \times 2 \times 2\), розбитого на кубики \(1 \times 1 \times 1\)? (Каркас складається з \(27\) точок, які з’єднані одиничними відрізками; будь-які дві сусідні точки повинні бути з’єднані рівно одним відрізком).

В компанії з семи кліматологів будь-які шість можуть сісти за круглий стіл так, що кожні два сусіда виявляться знайомими. \(\\\)Доведіть, що і всю компанію можна усадити за круглий стіл так, що кожні два сусіда виявляться знайомими.

В країні з кожного міста виходить \(10\) доріг і з будь-якого міста можна доїхати до будь-якого іншого. Одну дорогу зачинили на ремонт.\(\\\) Доведіть, що і тепер з довільного міста, можна доїхати до будь-якого іншого.

Чи можна на площині намалювати \(9\) відрізків так, щоб кожний перетинався рівно з трьома іншими?

Чи можуть степені вершин в графі бути рівними: \(\\\) а) \(8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2\)? \(\\\) б) \(7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1\)? \(\\\) в) \(6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2\)?

Чи можна скласти магічний квадрат з перших \(25\) простих чисел? \(\\\it{Магічний\, квадрат}\) - це квадратна таблиця, заповнена числами, в якій суми чисел у всіх стовпчиках і рядках рівні